Στο φετινό θέμα Α1 των πανελλαδικών της ΑΕΠΠ το πρώτο υποερώτημα αφορούσε την ισχύ της ισοδυναμίας δύο λογικών εκφράσεων:
“Η έκφραση ΟΧΙ(Κ=10 ΚΑΙ Χ>7) είναι ισοδύναμη με την έκφραση (Κ<>10 Ή Χ<=7)” (Σωστό ή Λάθος)
Η παραπάνω ισοδυναμία συνεπάγεται από τον έναν από τους δύο γνωστούς στην Πληροφορική “νόμους De Morgan”, για κάθε λογική έκφραση Α, για κάθε λογική έκφραση Β:
(ΟΧΙ (Α ΚΑΙ Β)) ↔ ((ΟΧΙ Α) Ή (ΟΧΙ Β))
(ΟΧΙ (Α Ή Β)) ↔ ((ΟΧΙ Α) ΚΑΙ (ΟΧΙ Β))
Θυμίζει λίγο την γνωστή “επιμεριστική” ιδιότητα, με τον τελεστή ΟΧΙ να εφαρμόζεται σε κάθε έναν από τους τελεστέους των τελεστών ΚΑΙ/Ή στο πρώτο μέλος της ισοδυναμίας, και με τον τελεστή ΚΑΙ να μετατρέπεται σε Ή, ενώ τον Ή να μετατρέπεται σε ΚΑΙ στο δεύτερο μέλος.
Αν και ο τελεστής της λογικής ισοδυναμίας “↔” δεν ορίζεται ως λογικός τελεστής στην Γλώσσα της ΑΕΠΠ, τον ρόλο αυτού του τελεστή στην τελευταία αναλαμβάνει ο γνωστός λογικός τελεστής της ισότητας “=”, όπως θα δούμε παρακάτω. Οπότε, οι νόμοι De Morgan στην Γλώσσα της ΑΕΠΠ γράφονται (και είναι Αληθείς), για κάθε λογική έκφραση Α, για κάθε λογική έκφραση Β:
(ΟΧΙ (Α ΚΑΙ Β)) = ((ΟΧΙ Α) Ή (ΟΧΙ Β))
(ΟΧΙ (Α Ή Β)) = ((ΟΧΙ Α) ΚΑΙ (ΟΧΙ Β))
Αντικαθιστώντας την λογική έκφραση Α με την λογική έκφραση Κ=10, την Β με την Χ>7 (αφού οι παραπάνω νόμοι ισχύουν για κάθε ζεύγος λογικών εκφράσεων Α, Β) και εφαρμόζοντας τον πρώτο νόμο De Morgan παραπάνω, παίρνουμε:
(ΟΧΙ(Κ=10 ΚΑΙ Χ>7)) = ((ΟΧΙ Κ=10) Ή (ΟΧΙ Χ>7)) →
((ΟΧΙ Κ=10) Ή (ΟΧΙ Χ>7)) = (Κ <> 10 Ή Χ <= 7)
Ωστόσο, οι νόμοι De Morgan δεν διδάσκονται στην δευτεροβάθμια εκπαίδευση, οπότε το πρόβλημα μπορεί να αντιμετωπιστεί με τη χρήση πίνακα παρόμοιου με αυτόν ο οποίος δίνεται στην σελ. 43 του σχολικού βιβλίου της ΑΕΠΠ, για κάθε διάταξη τιμών (“αποτίμηση”) των λογικών εκφράσεων (ή “προτάσεων”) Α, Β.
Ένας τέτοιος πίνακας λοιπόν μπορεί να κατασκευαστεί όχι μόνο για τις λογικές εκφράσεις “Α Ή Β”, “Α ΚΑΙ Β” και “ΌΧΙ Α”, αλλά…για κάθε λογική έκφραση!
Πριν κατασκευάσουμε όμως έναν τέτοιο πίνακα για τις δύο λογικές εκφράσεις του παραπάνω υποερωτήματος των πανελλαδικών του 2017, ας δούμε την έννοια της λογικής ισοδυναμίας. Η λογική ισοδυναμία (ή απλά “ισοδυναμία”) ορίζεται ως εξής: δύο προτάσεις (ή λογικές εκφράσεις) είναι ισοδύναμες όταν είναι και οι δύο Αληθείς ή όταν είναι και οι δύο Ψευδείς. Με άλλα λόγια δύο προτάσεις είναι λογικά ισοδύναμες όταν είναι…λογικά ίσες! Επομένως, στην Γλώσσα της ΑΕΠΠ η λογική ισοδυναμία μεταξύ δύο λογικών εκφράσεων εκφράζεται με τον τελεστή της ισότητας “=”! Δίνεται παρακάτω ο πίνακας τιμών της λογικής ισοδυναμίας:
Ας δούμε τώρα όμως τον πίνακα τιμών για τις λογικές εκφράσεις του θέματος Α1.
Παρατηρούμε ότι για κάθε αποτίμηση των λογικών εκφράσεων “Κ=10” και “Χ>7”, οι τιμές των λογικών εκφράσεων “ΟΧΙ (Κ=10 ΚΑΙ Χ>7)” και “Κ<>10 Ή Χ <= 7” είναι ίσες, άρα οι λογικές αυτές εκφράσεις είναι ισοδύναμες.
Γιώργος Μπουγιούκας
ΠΗΓΗ: https://gbougioukas.wordpress.com/2017/08/01/aepp_20017_a1/